高斯的這篇論文同樣叫做《非歐幾里得幾何的解釋的嘗試》，不過他的論證思路的確和約瑟夫的那篇不一樣。他的思路更簡單，也更特別一些。他用投影的概念，在單位圓上證明了新的幾何與歐幾里得幾何的相容。如果歐幾里得幾何成立，那么新的幾何也一定成立！
這種簡潔的推導，美妙的證明，充滿了數學的美感，對于拉普拉斯等人來說，再也沒有比它更震撼的了。
“我想，對于那位實際上是匿名者的路西恩·伊文斯先生的那篇論文，大家應該已經沒有懷疑了吧？”約瑟夫開口道，“如果是這樣，我就要宣布這次聽證會的結果了，嗯，我認為傅里葉先生在關于這篇論文的審評中，做出了正確的評價。現在，你們誰贊同，誰反對？”
于是大家，包括拿破侖在內，便都一起表示了贊同。
“很好，我很高興地看到，我們的科學院畢竟是科學院，大家都愿意講道理。對還是不對，大家都愿意用論文來說話。嗯，傅里葉先生，您是在看到完善的證明之前，做出讓這篇論文通過的判斷的。而我們也都知道，在這篇論文中，有很多的超越了我們的常識的，讓我們感到難以接受的東西。現在，我想要請您來講一講，您在沒有見到完善的證明之前，為什么會做出讓這篇論文通過的判斷。”
傅里葉點了點頭，便走上了講臺。
“諸位尊敬的院士，其實一開始我剛剛看到這篇論文的時候，也是感到荒謬，感到不可置信，并深信這篇論文一定是存在著某種錯誤的。只是當時我覺得，這篇論文的創作者雖然弄出了一篇荒謬的作文，但是他在論文中表現出的數學水平卻非常的驚人。我想，任何真正認真地克制住自己心中的厭惡，認認真真地看過這論文的人，都應該能發現這一點。我當時就想：就算這篇論文，真的是錯誤的，荒謬的。它也是更高級的錯誤和荒謬，就向芝諾悖論（阿喀琉斯永遠追不上一只在他前面一點的烏龜）那樣，顯然是荒謬的，但卻很可能是有著非常深刻的內涵的荒謬。是值得認真對待的荒謬。就好像對芝諾悖論的研究，引出了對有限和無限，連續和離散的深入研究一樣。
所以我細細地又將這篇論文認認真真地研究了一番。這樣的研究——老實說，讓我很是恐懼。我的心告訴我，這東西肯定是錯的，世界上哪有這樣的道理。但是我的大腦卻告訴我，這篇論文從數學上來說，一點錯誤都沒有。
這真是一件可怕的事情，因為這幾乎就意味著，我們的數學和現實矛盾了。很可能我們的數學從根子上就錯了。當時我被自己的這個想法，嚇得連飯都吃不下了。”
對于這個說法，就連拉普拉斯也忍不住點頭表示同意。因為，這的確是太嚇人。簡直和宇宙3K微波背景輻射突然在整體上發生振幅在百分之一至百分之五之間各向同性的波動，或者說宇宙閃爍起來了一樣嚇人。
“但是，在這時候，我突然想起來了一件事。那是院長的那個看起來完全違背了常理的‘波拿巴亮斑實驗’。那個實驗不也是聽起來完全不符合現實嗎？但是只要條件合適，它就真的會在現實中出現。于是我得到了一點安慰，我想，也許既不是數學錯了，也不是現實錯了，而是我自己對現實的理解錯了。現實世界是這樣的宏大，我們能接觸的范圍，卻是這樣的有限。我們憑什么去決定，什么是符合現實的，什么是不符合現實的呢？說不定，在某種特殊的條件下，這種奇怪的幾何真的能夠實現呢？就像只要條件適合，我們就真的能在一個不透明的物體留下的影子中間，看到一個亮斑一樣。
所以，我就將這篇論文，以及我的想法和院長，還有高斯院士商量了一番。他們都同意我的想法，并且和我一起試圖在現實中找出那個能讓這種奇怪的，和直觀不一樣的幾何成立的條件。最終的結果，就是剛剛大家看到的那兩篇論文。
這件事讓我很有感觸。”傅里葉聽了聽，繼續說道，“我們對于什么是現實，最好再謹慎些。不要以為我們真的知道什么是現實。很多時候，真正的現實世界，和我們以為的并不一樣。相比之下，我覺得，數學推演中推出來的東西，說不定比我們所看到的現實反倒是更可靠一些。我記得波拿巴院長以前就說過，我們的眼睛會欺騙我們，我們的耳朵也會欺騙我們，我們的想象力也會欺騙我們，但是數學不會。這就是我的想法，謝謝大家。”
于是大家便都鼓起掌來。