對于古人來說，他們不理解“0”的存在。
古代中國有“空”和“無”的認識，但并沒有將之與“0”結合。所謂“真空”也不是什么都沒有，還有許多人的雙眼無法觀察到的物質。
但你可以感覺到口袋里一個子兒都沒有了，一個房子里什么家具都沒有，看起來空蕩蕩的。當你在空屋里放了一把椅子，這個空房子就沒那么空了。一把椅子不像一滴水或一粒沙，一把椅子再加一把椅子是兩把椅子。
倘若水凍成冰塊，水和沙混合變成水泥塊，那么一塊冰加另一塊冰是兩塊冰，一個水泥塊加另一個水泥塊是兩塊水泥塊，這背后有一定的規則。就好像拼圖，它有明顯的邊界，兩塊相鄰的拼圖不僅僅要匹配的邊緣，還要有匹配的圖案。只有當拼圖的凹槽符合銜接的規則，并且圖案是匹配的，二塊拼圖才能結合。
當拼圖完成的時候，人們會看到一個直觀的畫面，比如最后拼出來的是蒙娜麗莎。如果只按照凹槽銜接的規則，無視圖象的規則，最后拼出來的可能是一堆“亂碼”。而僅以圖象去尋找拼圖，不去尋找其中的規則，就像碰運氣，完成了也沒有形成經驗和知識，拼圖的時候怎么不先從邊緣開始，凹槽邊緣是什么樣的拼圖是位于邊角的呢？
知性就像是把一地的拼圖按照一定規則收集、整理起來，有人會按照邊緣的凹槽，有人會按照拼圖上的顏色，然后挨個將它們匹配。
1+1=2是認識過程中一次質的飛越，當某個原始人第一個認識到兩個數相加可以得到一個確定數，那個原始人就發現了可加性，1個梨加1個蘋果不能用“2個”來形容。順序是不重要的，比如你拿5塊糖，可以先拿2塊，再拿3塊，又或者先拿3塊，后拿兩塊。
在數學領域中1+1=2是不需要證明的，但在范疇學中確實需要進行推理的，而范疇是一個哲學概念，亞里士多德和康德都有提起。1+1在什么條件下等于2呢？這就是先驗的知識討論的，數和數的四則運算法是從經驗積累中累計起來的，并且加以整理，形成了最古老的算術，以此為基礎有了算學、數學。不會有人將有六條邊的圖形說成是矩形，算術和幾何分別代表了時間和空間的純形式直觀，它們分別代表了拼圖的邊緣與圖案。
兩滴水變成一滴水所得到的體積比一滴水要大，兩堆沙相加也是如此，而椅子的長寬高不變。這種在經驗上得到驗證，具有偶然性，而非普遍性，是不需要像黑天鵝般，人類的認識必須服從被認識的對象而進行更改的。
但這種情況也不絕對，因為范疇學的變革來自于底層，底層到需要我們每一個人回到數學啟蒙的那一刻。
就像哥白尼的日心說，不僅將人類的世界觀都給重新推導重塑，還改變了人類的思維方式。
在人類克服地心引力，到達外太空之前，牛頓的經典力學就像是“白天鵝”，在16世紀伽利略已經在比薩斜塔上利用兩個鐵球證明物體下落的速度和重量沒有關系，牛頓第二定律同樣可以通過實驗獲得。
但萬有引力卻并非源自于地球，它是基于開普勒第三定律推導出來的，而開普勒第三定律是根據丹麥天文家第谷等人觀測資料和星表，通過分析、整理后得到的。
這就是康德所說的，我們的一切知識都是從經驗開始的，認識能力受到激發而行動，如果不是由于對象激動了我們的感官，使得我們的知性行動運作起來，對這些表象加以比較，把它們聯合起來或者分離開來，那又是什么呢？
經典力學適用于宏觀世界，人們可以用它來計算彈道，也可以用來研究低速運動的機械，卻不能用它來研究微觀世界和高速運動的物體，微觀世界有量子力學，高速運動的物體有狹義相對論，當然這些都不是19世紀初期的人所知道的。
不論是量子力學還是狹義相對論都是物理界的黑天鵝，在柴可夫斯基的芭蕾舞劇《天鵝湖》中，白天鵝是可憐的公主，在魔王的手下苦苦掙扎，她的舞姿優雅、哀婉、纖弱，而黑天鵝則是魔王的女兒，她驕傲、艷麗、魅惑，有一種壓服全場的氣勢。
但偏偏她們倆長的一模一樣，就像是雙重人格。
這很考驗舞者，一般來說擅長細膩的芭蕾舞者并不擅長輕盈、柔韌的舞姿，絕大多數的芭蕾舞團會用兩個“天鵝”，要是同一個演，不是跳不好白天鵝，就是跳不好黑天鵝。
不論是哪一種天鵝，都會在水面上浮泳，當它們彎曲著纖細的脖子，低頭看著水里時，看到的是什么？它們正在看水里的游魚，打算隨時鉆入水底捕獵？還是水面反射的倒影，它們認識到那影子是它們自己么？
喬治安娜從冰冷的湖水中冒出頭來，湖面籠罩在清晨的薄霧之中。