龐學林一邊說著，一邊從抽屜里取出三張打印好的白紙，交給三人。
“艾艾，這是你的，哈爾克，你的，還有蘇菲，這一份是你的。”
“師傅，這是？”
龐學林微笑道：“說實話，上學期我給你們那幾道題，算是對你們數學水平的一個摸底考察，總得來說，還算比較滿意。而且你們也基本上已經完成了基礎階段的學習，接下來需要真正接觸一些最前沿的研究。我今天給你們列出的，就是你們未來需要研究的問題，這些問題目前在數學界都是算得上是熱點研究領域，很多都還沒有解決。我不指望你們能夠將這些問題完全解決，但我希望，你們能夠通過研究這些問題，在畢業前，完成一份高水平的博士論文出來……我說的高水平，是四大期刊級別的，如果做不到，那很抱歉，你們沒辦法從我這里畢業。當然，假如你們有興趣的話，可以自己挑戰一些難度更大也更為知名的難題，這個我不攔著……”
艾艾、哈爾克、蘇菲他們一個個不由得面面相覷。
艾艾粗略看了一下自己的那張白紙，皺眉道：“師傅，我的研究領域是酉表示中的狄拉克算子？”
龐學林點了點頭，笑道：“狄拉克算子是一個一階微分算子，它是1928年由著名物理學家、諾貝爾獎獲得者保羅·狄拉克作為拉普拉斯算子的平方根引入的。利用這一算子，狄拉克解釋了電子的自旋并預言了正電子的存在，進而奠定了相對論量子力學的基礎。目前，各種背景的狄拉克算子廣泛應用于物理學的許多分支，并且被推廣到微分流形，是數學中非常重要的研究對象”
龐學林頓了頓，繼續道：“由狄拉克算子導出的酉表示的狄拉克不等式也是研究酉表示分類的有力工具。對于連通實半單李群G，沃根利用泛包絡代數和Clifford代數定義了一種完全代數化的狄拉克算子以及(g，K)模X的狄拉克上同調。李群表示的一個很重要的不變量是它的無窮小特征。沃根猜想若實半單李群G的不可約(g，K)模X具有非零的狄拉克上同調，則X的無窮小特征由其狄拉克上同調完全決定。這個猜想已經被黃進嵩和Pandzic證明。事實上，上面的結果可以推廣到更一般的齊性空間G/H，對于Kostant定義的cubicDirac上同調也有類似結論。”
“沃根關于狄拉克上同調的猜想，刻畫了Dirac算子的一個深刻的代數性質，它進一步刻畫了表示的無窮小特征，這為酉表示的研究提供了新的工具。例如，由此可導出更精細的狄拉克不等式，不可約酉表示的幾何構造也可以簡化。同時，狄拉克上同調又與李代數上同調密切相關，在很多情形中，狄拉克上同調可以簡化李代數上同調的計算。目前，狄拉克上同調的應用日益廣泛，甚至超出了半單李群表示的范圍。”
“我們知道，李群的每個余伴隨軌道上都有不變辛結構，而軌道方法對于研究冪零李群的表示非常有效。另外，辛空間中的Weyl代數與上面狄拉克算子定義中用到內積空間的Cillford代數有很強的相似性。因此，在這一領域，我們可以提出以下幾個問題，比如如果齊性空間G/H上存在不變辛結構，是否也能給出辛狄拉克算子的一個代數化的定義？是否可以利用辛狄拉克算子來構造實半單李群的酉表示？辛狄拉克算子與余伴隨軌道是否有聯系?目前在數學界，這些問題的研究還處于起步階段，艾艾，未來兩年內，我希望你能在這一領域有所成就。”
艾艾苦著臉點了點頭，上學期龐學林給他們布置作業的時候，她還感覺難度什么都可以接受，稍稍努把力，一學期時間還是能夠解決的。
沒想到到了這學期，龐學林上來就給他們放了大招。
她對狄拉克算子壓根沒多少研究，單單想搞明白這些問題，恐怕就得花費一周以上的時間，更不用說解決龐學林所說的這些問題了。
不過還好，龐學林只要求他們通過研究這個問題寫出一篇高水平的論文來，倒也沒有強制要求解決這些問題。
說完艾艾的任務，龐學林將目光轉向哈爾克，微笑道：“哈爾克，Cherlin-Zilber猜想，你應該知道的吧？”
哈爾克苦笑著點了點頭，說道：“師傅，這個猜想是由G.Cherlin和BorisZilber于30年前提出的有關無限單群分類的一個猜想：即一個Morley秩為有限的ω–穩定單群一定是某個代數封閉域上的一個代數群。這個猜想是模型論研究與代數群研究結合部的一個非常重要的問題。”
龐學林滿意地笑道：“很好，Cherlin-Zilber猜想提出30年來，數學界圍繞這一猜想所展開的關于ω–穩定群的研究工作取得了非常突出的進展。這種研究不僅應用模型論的許多新的思想和方法，而且也用到來自有限群理論研究領域，特別是有關有限單群分類工作中的許多想法。有關這一猜想研究，我推薦你看一份由Borovik和Nesin合著的關于Cherlin-Zilber猜想的專著，我相信你一定會從這本書中找到有用的材料。另外，盡管這一猜想目前依然沒有被解決，但與此相似的關于o–極小結構的Cherlin猜想已經被Peterzil，Pily和Starko三人所證明，我建議你看一下他們的證明論文，說不定會有所啟發。”
哈爾克道：“師傅，我回去馬上查這方面的資料。”
最后，龐學林將目光轉向了蘇菲：“蘇菲，長田猜想就交給你了。”
蘇菲抿著嘴，重重點了點頭。
艾艾好奇地湊到蘇菲那邊，看著她那張白紙上的文字，忍不住低聲念了出來：“P1，…，Pn是C^2上處于一般位置的點，m1，…，mn是一組自然數。假如存在一條d次曲線C，對每個1≤i≤n，C在Pi點的重數都不小于mi，則d^2≥m1^2+……+mn^2。”
“師傅，蘇菲的這個命題也太簡單了吧？”
龐學林笑著說道：“你覺得簡單嗎？要不你和蘇菲的換一換？”
艾艾連忙擺手，訕笑道：“不了不了，我覺得我的這個狄拉克算子也挺好的。”
龐學林笑了笑道：“在代數幾何中，平面代數曲線是最簡單也是最具體的代數簇，然而在這個領域內還是有一些著名的難題沒有解決，長田猜想就是其中之一。而且長田猜想是代數幾何領域為數非常少的可以讓大學生理解的問題，但難度卻很大。歷史上，這個猜想在解決希爾伯特第十四問中起到了非常關鍵的作用，在更深的代數幾何前沿研究中，很多問題的解決同樣依賴于長田猜想的解決。蘇菲，我希望在你畢業之前，在這一領域的研究能夠有所進展。”