研究巴拿赫空間之前，我們有必要完全弄清楚巴拿赫空間、希爾伯特內積空間、賦范線性空間這三者之間的區別和聯系。
賦范線性空間是距離空間，希爾伯特內積空間必然是賦范線性空間，巴拿赫空間是完備的賦范線性空間。這是三者間的基本關系。
作為資深專家，具備大師水平的數學研究者，穆勒和沈奇同樣需要依托最基礎的理論去證明體系內的定理。
內積空間中的內積可以定義范數，而范數不一定非要內積來定義。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，而巴拿赫空間是完備距離空間的特例。
所以，沈奇基于穆勒在1982年的一條證明重新定義如下：
“巴拿赫空間X的一個非空子集C稱為逼近緊的，是指對任意{xn}∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得
‖xn-y‖→dist（y，C）=inf{‖xn-y‖：x∈C}，
那么{xn}∞n=1就存在一個柯西列，稱X是逼近緊的，且X的每個閉凸子集是逼近緊。”
“思路逐漸清晰，沈奇你認為一個巴拿赫空間X是逼近緊的當且僅當它具備drop性質。”穆勒教授再次檢查沈奇設定的前提條件。
巴拿赫空間綜合了泛函分析、拓撲、空間幾何等諸多分支，是一個有難度的領域，不適合初學者接觸。
“沒錯。”沈奇和穆勒交流起來非常通暢，聰明人不廢話，數學家不啰嗦。
“需要我做什么？”穆勒教授問到，并沒有擺出教授及導師的架子，他視沈奇為平等的學術合作伙伴，就如當年的哈代和拉馬努金、高斯和黎曼、歐拉和拉格朗日、歐幾里得和阿基米德。
在學術上平等對待徒弟的師傅，往往能跟弟子一同載入史冊。酷愛消滅徒弟的畢達哥拉斯，他在數學史上的聲望評價為負分。
沈奇說到：“巴拿赫空間的RNP性質和鞅理論分析就拜托穆勒教授了，你是這方面的專家。”
“OK，那我們還等什么？分頭干活吧，爭取一個月之后合稿。”穆勒教授親力親為，這畢竟是他最先提出來的一個定理，他要親手完成這項跨越三十幾個春秋、滲透復雜感情的課題。
“OK。”沈奇收拾好資料，準備離開穆勒的辦公室，去完成人生中第一個以自己姓氏命名的數學定理。
“對了，明天你去帶導修課，這是我的教案備份和學生信息，你熟悉一下。”穆勒遞給沈奇一個又厚又重的文件袋。
“看來穆勒教授的一百二十美元并不容易賺到。”沈奇笑了笑，接過文件袋這便離開。
晚上和第二天上午，沈奇開始編寫“穆勒-沈定理”他負責的證明部分。
沈奇堅持將自己的姓氏放在后面，以體現對導師的尊重。
一整個下午，沈奇仔細研究穆勒關于非歐幾何的教案，這是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
穆勒在這個學期負責普大數學系本科生的一門課程，非歐幾何。
授課有兩種形式，大課以及導修課。
大課通常安排在能容納一百多名學生的大教室中進行，主講人是教授。
前美國總統伍德羅-威爾遜在普大當校長時，新增了一個“preceptorial”課程，即導修課，那時是1905年，這門課程一直延續到今天。
導修課實行小班制，通常由助教負責，一個導修班有10-12名學生，最多不超過15名學生。